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Die Frage, ob räumlich lokalisierte Strukturen für alle Zeiten existieren können, ist fundamental für viele Bereiche der Natur. Im Fall, dass diese nicht für alle Zeiten existieren, ist es von Interesse, mit welchen Abstrahlraten ihre Energie an die Umgebung abgegeben wird. Anhand einer Modellgleichung aus der nichtlinearen Optik werden die zugrunde liegenden Partikel-Feld-Interaktionen in periodischen Medien mit und ohne Defekte genauer untersucht. Wir betrachten in einem ersten Teil dieser Arbeit eine lineare Klein-Gordon-Gleichung in einer Dimension und stören diese, indem wir ein räumlich periodisches Lamépotential sowie ein räumlich lokalisiertes Potential addieren. Infolge der dispersiven Natur dieser Gleichung können wir für deren Lösungen zeitliche Abklingraten herleiten. Außerdem beschäftigen wir uns mit der Situation, dass die Störung nur aus einem räumlich lokalisierten Anteil besteht, der dann etwas allgemeiner sein darf. Bekanntlich ist es in einer Raumdimension nicht möglich, mithilfe der Wellenoperatoren aus der Streutheorie zu einer zugehörigen L8-Endpunktabschätzung zu gelangen. In einem weiteren Teil wenden wir diese Abklingabschätzungen auf nichtlineare Probleme an und zeigen die asymptotische Stabilität des Vakuumzustands in geeigneten dispersiven Normen: Besitzt der zum Problem gehörige Hilloperator keinen Eigenwert, so addieren wir zur linearen Gleichung eine Nichtlinearität in Form einer Potenz up mit p e {6, 7, 8,.}. Auf kanonische Weise lässt sich dann die Konvergenz bzgl. der L8-Norm gegen die triviale Lösung mit der entsprechenden linearen Rate zeigen. Erzeugt das räumlich lokalisierte Potential hingegen einen Eigenwert in der Bandlücke des stetigen Spektrums des Hilloperators, dann lokalisieren wir die Nichtlinearität up im Raum, indem wir sie mit einer geeigneten Gewichtsfunktion multiplizieren. In diesem Fall weisen wir für p e {3, 4, 5,.} die asymptotische Stabilität in einer räumlich gewichteten L2-Norm nach. Dabei ist die zeitliche Abklingrate der Lösung im Vergleich zum linearen Problem stark vermindert, insbesondere bei derjenigen Komponente, welche zum diskreten spektralen Teilraum von L2 bzgl. des Hilloperators gehört. Man spricht daher von metastabilen Zuständen.

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Zařazení knihy Knihy v němčině Naturwissenschaften, Medizin, Informatik, Technik Mathematik Mathematik - Sonstiges

• Plný název: Dispersive Abschätzungen für eindimensionale lineare Klein-Gordon-Gleichungen mit gestörtem Lamépotential und Metastabilität lokalisierter Strukturen
• Autor: Oskar Prill
• Jazyk: Němčina
• Vazba: Brožovaná
• Počet stran: 196
• EAN: 9783844006940
• ISBN: 384400694X
• ID: 12708017
• Nakladatelství: Shaker Verlag
• Hmotnost: 277 g
• Rozměry: 216 × 149 × 27 mm
• Datum vydání: 27. January 2012

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